XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №4. 24.02.2012
МЛАДШАЯ ГРУППА, ВЫСШАЯ ЛИГА, БОЙ ЗА 7 МЕСТО.
ПЕРВАЯ ЛИГА, БОИ ЗА 3-8 МЕСТА

1. Даны попарно различные натуральные числа a, b, c и d. Известно, что ab+cd делится на нечетное число ac+bd. Докажите, что ab+cd имеет хотя бы два различных простых делителя.

2. Из четырех одинаковых квадратов, прикладывая их сторонами друг к другу, можно составить пять различных фигур (прямоугольник 1х4, букву Г, букву Т, букву Z и квадрат 2х2). Имеется по пять экземпляров каждой из этих фигур. Какой наибольший квадрат можно сложить из них? Фигуры можно поворачивать и переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга. Можно использовать не все 25 фигур.

3. Даны положительные числа x, y и z. Докажите, что числа x+y+z–xyz и xy+yz+zx–3 не могут одновременно быть отрицательными.

4. Сколькими различными способами из чисел 1, 2, ..., 26 можно выбрать несколько (больше одного), сумма которых не больше, чем 175?

5. Даны различные простые числа p и q. Натуральные числа m и n таковы, что число (mp–1)/q+(nq–1)/p — целое. Докажите неравенство m/q+n/p > 1.

6. На стене по кругу расположены 100 переключателей. Каждый может находиться в трех положениях: влево, вправо, вверх. Если какие-то три переключателя подряд находятся в трех разных положениях, сумасшедший электрик переключает все их в то положение, которое имеет один их крайних переключателей среди этих трех. Докажите, что он не сможет проделать эту операцию более 100 раз.

7. Два игрока по очереди выписывают числа на доску. Первый пишет +1 или –1, второй дописывает +2 или –2, первый — +3 или –3 и т.д. Игрок, после хода которого сумма выписанных чисел становится по модулю не менее 2012, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Серединный перпендикуляр к диагонали AC пересекает сторону AD в точке Y, а срединный перпен-дикуляр к диагонали BD пересекает сторону AD в точке X, лежащей между точками A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что AC и BD перпендикулярны.

Понравилось? Сохраните и поделитесь:

ссылки

По кнопке ниже вы можете скачать методическую разработку «Математический бой. Примеры задач» категории «Игры и викторины по математике» бесплатно. Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие материалы на нашем сайте.