XXXIX УРАЛЬСКИЙ ТУРНИР ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ. КИРОВ, 18-24.02.2012
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ №4. 24.02.2012
МЛАДШАЯ ГРУППА, ВТОРАЯ ЛИГА

Перед началом проведения, тщательно ознакомьтесь с правилами математического боя.

1. Назовем интересными 70-значные числа, в десятичной записи которых встречаются только цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, причем каждая цифра встречается ровно 10 раз. Может ли одно интересное число делиться на другое?

2. На полке лежат 623 карточки, пронумерованные числами от 1 до 623. Вася и Петя играют в следующую игру. Вася выбирает любую карточку и кладет ее на стол, Петя выбирает любую из оставшихся карточек и кладет ее справа от Васиной, потом Вася кладёт справа ещё одну карточку и т.д. Чис-ло на каждой карточке, начиная со второй, должно давать в сумме с числом на предыдущей карточке полный квадрат. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход (возможно, из-за того, что карточки кончились). Кто выиграет при правильной игре?

3. Даны положительные числа x, y и z. Докажите, что числа x+y+z–xyz и xy+yz+zx–3 не могут быть одновременно отрицательными.

4. В левой верхней клетке квадратной поляны 20х20 сидят 3 ёжика. За один ход один из ёжиков переходит на одну клетку вправо или вниз. Через не-сколько ходов все ёжики собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наибольшее количество клеток, на которых побывал хотя бы один ёжик?

5. Произведение цифр 100-значного числа равно 3¹⁰⁰. Какое наибольшее значение может принимать сумма цифр этого числа?

6. На стене в ряд расположены 100 переключателей. Каждый может находиться в четырех положениях: влево, вправо, вверх, вниз. Если какие-то три переключателя подряд находятся в трех разных положениях, сумасшедший электрик переключает средний в то положение, которое имеет один их крайних переключателей среди этих трех. Докажите, что он не может проделать эту операцию более 100 раз.

7. Обозначим через n количество упорядоченных пар целых чисел (x, y), удовлетворяющих условию x²+xy+y² ≤ 2012. Найдите остаток от деления n на 4.

8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Серединный перпендикуляр к диагонали AC пересекает сторону AD в точке Y, а срединный перпендикуляр к диагонали BD пересекает сторону AD в точке X, лежащей между точками A и Y. Оказалось, что прямые BX и CY параллельны. Докажите, что AC и BD перпендикулярны.

Понравилось? Сохраните и поделитесь:

ссылки

Неограниченная бесплатная загрука материала «Математический бой. Примеры задач» доступна всем пользователям. Разработка находится в разделе «Игры и викторины по математике» и представляет собой: «игра, викторина, олимпиада».