1. В левой верхней клетке прямоугольной поляны 100x100 сидят 20 ёжиков. За один ход один из ёжиков переходит на одну клетку вправо или вниз. Через несколько ходов все ёжики собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее количество клеток, не посещенных ни одним ёжиком?

2. Произведение каких-то трех делителей числа n делится на n². Докажи-те, что произведение любых двух из них делится на n.

3. Произведение цифр 100-значного числа равно 3¹⁰⁰. Какое наибольшее значение может принимать сумма цифр этого числа?

4. В каждой клетке квадрата 10x10 стоит рыцарь или лжец. Соседями считаются люди, стоящие в клетках, имеющих общую сторону. Каждый из стоящих сказал: «Среди моих соседей чётное число лжецов». Известно, что в угловых клетках стоят рыцари. Докажите, что в центральном квадрате 8x8 стоит чётное число лжецов.

5. Знайка вырезал из квадрата прямоугольник с тем же центром и сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата, но не лежащими на них. Незнайка заявил, что может разрезать получившуюся фигуру на 6 треугольников. Мог ли он оказаться прав?

6. На полке лежат 623 карточки, пронумерованные числами от 1 до 623. Вася и Петя играют в следующую игру. Вася выбирает любую карточку и кладет ее на стол, Петя выбирает любую из оставшихся карточек и кладет ее справа от Васиной, потом Вася кладёт справа ещё одну карточку и т.д. Число на каждой карточке, начиная со второй, должно давать в сумме с числом на предыдущей карточке полный квадрат. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход (возможно, из-за того, что карточки кончились). Кто выиграет при правильной игре?

7. На стене по кругу расположены 100 переключателей. Каждый может находиться в трех положениях: влево, вправо, вверх. Если какие-то три переключателя подряд находятся в трех разных положениях, сумасшедший электрик переключает все их в то положение, которое имеет один из крайних переключателей среди этих трех. Докажите, что он не может проделать эту операцию более 100 раз.

8. Даны положительные числа x, y и z. Докажите, что числа x+y+z–xyz и xy+yz+zx–3 не могут быть одновременно отрицательными.

Понравилось? Сохраните и поделитесь:

ссылки

По кнопке ниже вы можете скачать методическую разработку «Математический бой. Примеры задач» категории «Игры и викторины по математике» бесплатно. Будем благодарны, если вы оставите отзыв или посмотрите еще другие материалы на нашем сайте.