Обучение доказательству предложений и решению абстрактных упражнений и задач

Поиск и доказательство сформулированного предложения или «чисто» математической задачи требует не только глубокого знания предмета, но и общих способов и приемов, применяемых при этом. Важное место здесь занимает логическая подготовка учащихся, т.е. уровень владения способами и приемами научного познания, математической логики, системой алгоритмических предписаний, обеспечивающих творческую деятельность учащихся.

Формирование логического мышления осуществляется вначале в процессе решения задач и примеров, приобретения определенного опыта построения умозаключений, затем путем его систематизации и обобщения, рассмотрения общих правил логических рассуждений. Это следует осуществлять в 5-7-х классах. Затем может быть использован аксиоматический метод.

Любая задача (не говоря уже о теореме) содержит материал для умозаключений, который только нужно выделить, подчеркнуть. Например, к условию задачи «Из Санкт-Петербурга в Москву в 9 часов дня выехала грузовая машина со скоростью 48 км/ч. В10 ч из Москвы в Санкт-Петербург выехала легковая машина со скоростью 82 км/ч. Какое расстояние было между машинами в 12 ч того же дня, если между Москвой и Санкт-Петербургом расстояние 650 км?» - могут быть поставлены вопросы: «что известно по условию задачи? Что можно найти? Какие задачи могут быть поставлены? Какие заключения следуют из данных предложений?»

При решении различных упражнений постоянно следует возвращаться к обоснованию тех или иных операций. Например, при решении уравнений учащийся перенес один из его членов из одной части в другую с противоположным знаком. Ставим вопрос: «Из какого свойства уравнений следует это правило?»

Такие вопросы обеспечивают формирование локально-аксиоматического подхода к обоснованию предложений.

В процессе систематизации материала по теме целесообразно ставить вопросы: «какие из изученных предложений исходные, начальные? Какое предложение следует из данного? Постройте цепь предложений, которые следуют одно из другого».

Много возможностей таит в этом направлении геометрический материал, изучаемый в начальных классах.

Систему упражнений и задач следует составлять так, чтобы она обеспечивала формирование приемов построения того или иного вида заключения.

До изучения систематического курса геометрии учащиеся должны овладеть приемами построения умозаключений.

В ходе рассмотрения доказательств простейших теорем можно подвести учащихся к такой общей схеме деятельности:

1. Изучение сформированной теоремы, выделение того, что дано, что нужно доказать.
2. Структурный анализ теоремы, в частности: а) выделение всех данных и искомых понятий и отношений между ними, припоминание их определений; б) припоминание теорем, аксиом, формул, законов об этих понятиях; в) мысленное «составление» их списка.
3. Составление плана доказательства теоремы ( с учетом уже известных способов доказательств).
4. Построение умозаключений.
5. Составление цепи умозаключений, т.е. доказательство теоремы.
6. Проверка хода рассуждений, анализ умозаключений.
7. Поиск других способов доказательств, выделение рационального.
8. Описание доказательства и выделение общей схемы деятельности.
9. Определение границ применения теоремы.
10. Построение обратного и противоположного предложений. Их доказательство.
11. Установление необходимого и достаточного условия теоремы.
12. Построение обобщения или конкретизации теоремы, ее аналогов, их доказательство.

Нетрудно заметить, что схема включает не только процесс доказательства теоремы, но и повторение ранее изучавшихся теорем и аксиом.

Минимально свернутая форма этой схемы включает этапы 1,2,3,4,5,7,8.

Обычно рассматриваются примеры доказательств теорем по свернутой схеме. На уроке при помощи дополнительных вопросов и заданий развертываем ее до полной. Этапы 6,9,10,11,12 схемы раскладываем лишь в теоремах, которые богаты соответствующим содержанием. Последнее можно осуществить, например, при доказательстве теоремы Фалеса, теоремы Пифагора и др.

После изучения темы или раздела систематизацию материала целесообразно проводить по способам доказательства предложений. Например, следует выделить несколько теорем, доказываемых методом полной индукции, методом от абсурдного и др.

Мы убедились, что только после овладения общей схемой и способами доказательств учащиеся самостоятельно справляются с предлагаемыми им теоремами и гипотезами. В противном случае преобладает репродуктивное усвоение доказательств предложений.

В связи с этим целесообразно выделять изучение доказательств предложений, во-первых, по учебнику после объяснения учителя, во-вторых, самостоятельно – по учебнику или учебному пособию, в-третьих, самостоятельно доказывать предложения. Если учащийся самостоятельно доказывает предложение, то его деятельность заслуживает самой высокой оценки.

Кроме доказательства предложений, указанная схема применяется для решения различного вида упражнений и абстрактных математических задач.

Например, тождественные преобразования, поиск решения уравнения или неравенства, поиск признаков и свойств геометрических фигур требуют логических рассуждений или применения способа подстановки и моделирования.

При решении уравнений или неравенств можно пользоваться разработанной схемой или каждый шаг обосновывать общими их свойствами. Если учащиеся пользуются только схемой и не могут обосновать ее, то они формально владеют этой схемой. Если же применяют только свойства, не ищут общей схемы, то они не владеют алгоритмическими приемами.

Оценка «5» ставится за глубокое знание доказательства теоремы, умение обосновывать каждое заключение. Оценка «4» ставится при условии, если учащийся правильно доказал теорему, но при этом ему были заданы один-два уточняющие дополнительные вопросы. Оценка «3» ставится за знание формулировки и умение воспроизвести доказательство, но без обоснования отдельных заключений.